선공이 유리하다는 말은 게임마다 다릅니다 — 보드게임 열 종 98,097판을 세어 봤습니다
핵심 요약 — 보드게임 10종을 같은 난이도끼리 붙여 98,097판을 돌렸습니다. 승부가 난 판에서 선공은 평균 52.3% — 거의 반반입니다. 그런데 게임별로 보면 바둑 60.3%에서 구슬 삼목 43.0%까지 갈렸습니다. 더 이상한 것은, 선공 필승이 수학적으로 증명된 게임 둘(헥스·사목)이 각각 51.4%와 43.6%로 위쪽이 아니었다는 점입니다.
"먼저 두면 유리하다"는 말은 어디서나 들립니다. 얼마나 유리한지는 게임마다 다를 텐데, 그 차이를 한자리에서 재 본 적은 없었습니다. 그래서 우리 게임 열 종을 같은 방식으로 붙여 봤습니다.
잰 방법
같은 난이도끼리 붙였습니다. 실력이 다르면 선공 효과가 실력에 묻히기 때문입니다. 시간을 정해 놓고 그 안에 돌 수 있는 만큼 돌았으므로 판 수가 게임마다 다릅니다 — 한 판의 값이 게임마다 백 배 넘게 갈리기 때문입니다.
무승부와 끝나지 않은 판은 빼고, 승부가 난 판에서만 선공 비율을 셌습니다. 무승부가 69%인 틱택토를 전체 판으로 세면 선공이 15.8%로 나와 다른 게임과 견줄 수 없기 때문입니다.
열 종의 결과
| 게임 | 돈 판 | 선공 | 후공 | 무승부 | 미완 | 승부난 판 중 선공 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 바둑(따내기) | 3,624 | 2,186 | 1,438 | 0 | 0 | 60.3% |
| 만칼라 | 2,003 | 1,118 | 737 | 148 | 0 | 60.3% |
| 선 잇기 | 24,584 | 12,525 | 9,959 | 2,100 | 0 | 55.7% |
| 다이아몬드 게임 | 7,529 | 3,957 | 3,567 | 0 | 5 | 52.6% |
| 틱택토 | 228 | 36 | 34 | 158 | 0 | 51.4% |
| 오델로 | 521 | 261 | 247 | 13 | 0 | 51.4% |
| 헥스 | 329 | 169 | 160 | 0 | 0 | 51.4% |
| 윷놀이 | 58,339 | 29,402 | 28,937 | 0 | 0 | 50.4% |
| 사목 | 619 | 264 | 341 | 14 | 0 | 43.6% |
| 구슬 삼목 | 321 | 120 | 159 | 0 | 42 | 43.0% |
| 합계 | 98,097 | 52.3% |
가장 위와 가장 아래가 17%포인트 차이입니다. "선공이 유리하다"를 하나의 문장으로 말할 수 없다는 뜻입니다.
위쪽: 먼저 두는 것이 곧 이득인 게임
바둑(따내기)과 만칼라가 60.3%로 나란히 맨 위입니다. 둘의 이유가 다릅니다.
따내기 바둑은 정해진 수를 먼저 따낸 쪽이 이깁니다. 목표가 경주라서, 한 수 앞선 것이 그대로 한 수 앞선 상태로 끝까지 갑니다.
만칼라는 다릅니다. 마지막 씨앗이 자기 곳간에 떨어지면 한 번 더 둡니다. 그래서 선공의 한 수가 두 수, 세 수로 불어날 수 있습니다. 다른 게임에서 선공의 이점은 한 수뿐인데, 여기서는 그 한 수가 사다리의 첫 칸입니다.
선 잇기(55.7%)도 비슷한 결입니다. 칸을 가져가면 한 번 더 긋습니다.
가운데: 거의 반반인 게임
다이아몬드 게임 · 틱택토 · 오델로 · 헥스 · 윷놀이가 50~53%에 몰려 있습니다.
윷놀이가 50.4%인 것은 예상대로입니다 — 주사위(윷)가 실력보다 크게 흔들어서, 한 수 먼저 던지는 것이 거의 값을 못 합니다.
오델로가 51.4%인 것은 이 게임의 성질입니다. 판이 계속 뒤집히므로 초반의 우세가 남지 않습니다. 우리가 따로 재 본 바로는 오델로에서 중반 우세는 동전 던지기에 가깝습니다.
아래쪽: 먼저 두는 것이 손해인 게임
사목 43.6%, 구슬 삼목 43.0%. 선공이 졌습니다.
구슬 삼목은 놓는 단계가 절반을 차지합니다. 아홉 개를 번갈아 놓는 동안 먼저 놓는 쪽이 계획을 먼저 드러냅니다. 밀이 되는 줄이 열여섯 개뿐이라 후공은 그걸 보고 막을 자리를 고르기 쉽습니다. 정보를 늦게 내는 쪽이 이득인 구조입니다.
사목은 사정이 다르고, 그래서 더 흥미롭습니다.
증명된 유리함이 통계에 안 나오는 이유
여기가 이 조사에서 가장 이상했던 부분입니다.
헥스와 사목은 선공이 이기는 것이 증명된 게임입니다. 헥스는 "후공에게 이기는 방법이 있다면 선공이 그걸 훔쳐 쓸 수 있으므로 모순"이라는 논증으로, 사목은 1988년에 판 전체를 풀어서입니다.
그런데 우리 통계에서는 헥스가 51.4%, 사목이 43.6%입니다. 하나는 겨우 반반이고 하나는 지고 있습니다.
증명이 말하는 것은 최선으로 두면 이긴다는 것뿐입니다. 최선을 어떻게 두는지는 다른 문제입니다.
- 헥스 11×11의 판 수는 사람이 셀 수 있는 규모가 아니고, 그 최선을 아무도 모릅니다. 우리 AI는 남은 칸을 무작위로 채워 보고 이길 확률이 높은 자리를 고르는 방식이라 최선에서 한참 떨어져 있습니다.
- 사목은 풀려 있지만, 그 답을 쓰려면 4조 가지가 넘는 판을 담은 표가 필요합니다. 우리 AI는 몇 수 앞만 봅니다.
게다가 사목에서는 앞선 쪽의 실수가 더 비쌉니다. 선공이 잘못 두면 후공이 그 칸을 그대로 받아 씁니다. 그래서 둘 다 덜 읽는 AI끼리 붙이면 이론과 반대 방향으로 기울 수 있습니다.
증명된 유리함은 그것을 끝까지 계산할 수 있는 쪽의 것입니다. 사람이 두든 얕게 읽는 AI가 두든, 실제 판에서는 다른 숫자가 나옵니다.
사목 AI에게 빈 판을 주고 첫 수를 물어보면 어려움은 400번 중 400번을 가운데 열에 둡니다. 이론이 말하는 첫 수와 정확히 같습니다. 첫 수는 맞히는데 그 뒤를 못 지키는 것입니다.
그래서 어느 자리를 고를까
- 경주형 게임(따내기 바둑·다이아몬드 게임)에서는 선공을 잡으세요. 앞선 것이 끝까지 앞선 것으로 남습니다.
- "한 번 더"가 있는 게임(만칼라·선 잇기)에서도 선공이 낫습니다. 한 수가 여러 수로 불어납니다.
- 주사위가 있는 게임(윷놀이)에서는 상관없습니다. 50.4%입니다.
- 판이 좁고 막기 쉬운 게임(구슬 삼목)에서는 후공이 낫습니다. 늦게 두는 쪽이 상대 계획을 보고 고릅니다.
- "선공 필승"이라고 적힌 게임을 잡았다고 안심하지 마세요. 그 증명은 완벽하게 둘 때의 이야기입니다.
재현 방법. 숫자는 npx tsx scripts/sim-board.ts로 나온 값이고 lib/board/sim-facts.generated.ts에 그대로 들어 있습니다. 같은 난이도끼리 붙였고, 판 수가 게임마다 다른 것은 시간으로 끊기 때문입니다 — 그래서 실제로 돈 판 수를 함께 적었습니다. 선공 비율은 무승부와 미완을 뺀 판에서만 셌습니다. 오목·체스·장기·체커·배틀십·백개먼은 한 판이 너무 비싸 이번 표본에 들지 못했습니다.