사목은 가운데 열이 끝 열보다 정확히 2.5배 값집니다 — 69자리를 전부 세어 봤습니다
핵심 요약 — 사목 판(7열 × 6행)에서 넉 줄이 만들어질 수 있는 자리는 69개입니다. 칸마다 몇 개에 걸치는지 세어 보면 가운데 열 60개, 맨 끝 열 24개로 정확히 2.5배입니다. 가장 값진 칸은 13개, 구석 칸은 3개 — 4.3배입니다. "가운데부터 두라"는 말은 취향이 아니라 세어 보면 나오는 숫자입니다.
사목을 두다 보면 누구나 가운데로 몰립니다. 왜 그런지는 대충 알 것 같은데, 얼마나 그런지는 아무도 말해 주지 않습니다. 그래서 세어 봤습니다.
넉 줄이 될 수 있는 자리부터 셉니다
판은 7열 × 6행, 칸이 42개입니다. 여기서 가로·세로·대각선 두 방향으로 넉 칸이 이어지는 자리를 전부 꺼내 봅니다.
| 방향 | 자리 수 |
|---|---|
| 가로 | 24 |
| 세로 | 21 |
| 대각선(↗) | 12 |
| 대각선(↘) | 12 |
| 합계 | 69 |
이 69개가 이 게임에서 이길 수 있는 모든 방법입니다. 승부는 이 중 하나를 먼저 채우는 것으로 갈립니다.
칸마다 몇 개에 걸치나
이제 칸 하나를 골라, 그 칸이 69개 중 몇 개에 들어가는지 셉니다. 그 수가 곧 그 칸이 쓸모 있는 경우의 수입니다.
3 4 5 7 5 4 3 ← 맨 윗줄
4 6 8 10 8 6 4
5 8 11 13 11 8 5
5 8 11 13 11 8 5
4 6 8 10 8 6 4
3 4 5 7 5 4 3 ← 바닥
가운데가 13, 구석이 3입니다. 4.3배입니다.
열별로 합치면 더 깔끔합니다.
| 열 | 1 | 2 | 3 | 4(가운데) | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 걸치는 넉 줄 | 24 | 36 | 48 | 60 | 48 | 36 | 24 |
24 · 36 · 48 · 60 · 48 · 36 · 24. 12씩 올라갔다 내려옵니다. 가운데는 끝의 정확히 2.5배입니다.
왜 이런 모양이 되나
가로줄만 놓고 보면 이유가 바로 보입니다. 한 행에서 넉 줄이 만들어질 수 있는 자리는 14열, 25열, 36열, 47열 넷입니다. 4열은 이 넷에 전부 들어가고, 1열은 첫 번째 하나에만 들어갑니다.
세로와 대각선도 같은 이치입니다. 가장자리에서는 줄이 판 밖으로 나가 버리므로 애초에 만들어질 수 없습니다.
그래서 가운데 열은 특별한 곳이 아니라, 잘려 나가지 않은 유일한 곳입니다.
가장 값진 칸은 가운데 열의 아래에서 셋째·넷째입니다
13개짜리 칸은 두 개뿐이고, 둘 다 4열에 있습니다 — 바닥에서 세 번째와 네 번째입니다. 맨 아래 칸이 아닙니다.
세로줄 때문입니다. 바닥 칸은 위로만 넉 줄을 만들 수 있어 세로 방향으로 한 자리밖에 못 씁니다. 가운데 높이의 칸은 위아래로 다 쓸 수 있어 세로에서만 서너 자리를 챙깁니다.
다만 사목에는 중력이 있어서, 그 칸에 두려면 아래를 먼저 채워야 합니다. 그래서 가장 값진 칸은 "먼저 차지하는 곳"이 아니라 "차지하려고 다투는 곳"이 됩니다.
AI도 같은 답을 내놓습니다
숫자를 세어 놓고, 우리 AI가 빈 판에서 첫 수를 어디에 두는지 400번씩 물어봤습니다.
| 난이도 | 4열(가운데)을 고른 비율 |
|---|---|
| 쉬움 | 64% |
| 보통 | 93% |
| 어려움 | 100% |
어려움은 400번 중 400번을 가운데에 뒀습니다. AI에게 "가운데가 좋다"고 알려 준 적은 없습니다 — 몇 수 앞을 읽어 보고 스스로 고른 것입니다. 쉬움이 64%인 것은 일부러 헛수를 섞기 때문입니다(쉬움은 열 번에 네 번꼴로 아무 데나 둡니다).
그런데 우리 AI는 선공이 43.6%였습니다
여기서 이상한 것이 나옵니다. 사목은 선공이 이기는 것이 증명된 게임입니다. 1988년에 두 사람이 따로 풀었고, 선공이 첫 수를 가운데 열에 두면 이깁니다.
그런데 우리 AI끼리 619판을 붙였더니 승부가 난 판에서 선공이 43.6%였습니다. 이론값(100%)과 반대 방향입니다.
증명이 알려 주는 것은 최선으로 두면 이긴다는 것뿐입니다. 사목의 판은 4조 가지가 넘고, 그 최선을 끝까지 읽으려면 판 전체를 풀어야 합니다. 우리 AI는 몇 수 앞만 봅니다.
그리고 이 게임에서는 앞선 쪽의 실수가 더 비쌉니다 — 선공이 잘못 두면 후공이 그 칸을 그대로 받아 쓰기 때문입니다. 그래서 덜 읽는 두 AI가 붙으면 이론과 반대로 나올 수 있습니다. 증명된 유리함은 그것을 끝까지 계산할 수 있는 쪽의 것입니다.
두는 사람에게 남는 것
- 첫 수는 가운데. 취향이 아니라 60 대 24입니다.
- 가장자리 열은 마지막에. 24개짜리 열은 상대의 줄을 끊을 때 말고는 값이 낮습니다.
- 가운데 열의 아래에서 셋째·넷째를 누가 갖는지 보세요. 판에서 가장 값진 두 칸입니다.
- 선공이라고 이긴 것이 아닙니다. 증명은 완벽하게 둘 때의 이야기입니다.
재현 방법. 69개 자리와 칸마다의 수는 7×6 판에서 네 방향으로 넉 칸이 판 안에 들어가는 경우를 전부 꺼내 센 값입니다(전수 계산이라 표본 오차가 없습니다). 첫 수 분포는 난이도마다 빈 판에서 400번 물어본 값입니다. 선공 승률 43.6%는 npx tsx scripts/sim-board.ts로 같은 난이도끼리 붙인 619판에서 나온 값이고, 무승부 14판과 미완 0판을 뺀 605판 기준입니다.