라이츠 아웃 5×5는 넷 중 하나만 풀립니다
핵심 요약 — 5×5 라이츠 아웃의 배치를 무작위로 만들면 25.2%만 풀립니다. 20만 판을 돌려 잰 값이고, 이론값은 정확히 4분의 1입니다. 그래서 판을 무작위로 켜서 내면 네 판에 세 판이 아무리 눌러도 안 꺼지는 판이 됩니다. 슬롯플레이는 다 꺼진 판에서 거꾸로 눌러 만듭니다.
라이츠 아웃은 규칙이 한 줄입니다. 칸을 누르면 그 칸과 상하좌우의 불이 함께 뒤집히고, 전부 끄면 이깁니다.
그런데 판을 만드는 쪽에서 보면 이야기가 달라집니다. 아무 배치나 풀리는 게임이 아니기 때문입니다.
넷 중 하나
불이 켜진 자리를 무작위로 정해 판 20만 개를 만들고, 각각 풀리는지 세어 봤습니다.
| 판 | 배치 가짓수 | 풀리는 비율 |
|---|---|---|
| 3×3 | 512 | 100% (전수 확인) |
| 5×5 | 33,554,432 | 25.2% |
3×3은 어떤 배치를 켜 놓아도 풀립니다. 5×5는 넷 중 하나뿐입니다.
무작위로 켜서 내는 라이츠 아웃을 만들었다면, 사용자 네 명 중 세 명은 아무리 눌러도 안 꺼지는 판을 받게 됩니다. 그리고 그 사람은 자기가 못 푼 것인지 판이 잘못된 것인지 알 방법이 없습니다.
왜 하필 4분의 1인가
누르기는 두 가지 성질을 가집니다. 순서를 바꿔도 결과가 같고, 같은 자리를 두 번 누르면 없던 일이 됩니다. 켜짐과 꺼짐 둘뿐이니 이 게임은 2로 나눈 나머지 위의 연립방정식입니다.
칸마다 식이 하나씩 서니 5×5에는 식이 25개, 미지수(각 칸을 누를지 여부)도 25개입니다. 식이 전부 독립이면 어떤 배치든 답이 하나씩 나옵니다 — 3×3이 그렇습니다.
5×5는 다릅니다. 식 25개 중 둘이 나머지에 딸려 있습니다. 다르게 말하면 아무것도 바꾸지 않는 누르기 조합이 셋 있습니다(아무것도 안 누르는 것까지 넷).
- 답이 있는 배치는 답이 넷씩 딸려 옵니다.
- 그래서 풀리는 배치는 전체의 2²³ / 2²⁵ = 4분의 1입니다.
측정값 25.2%가 이 값에 붙습니다.
그래서 판을 거꾸로 만듭니다
슬롯플레이는 불을 무작위로 켜지 않습니다. 다 꺼진 판에서 시작해 몇 자리를 눌러 둡니다.
이렇게 만든 배치는 정의상 풀립니다 — 눌렀던 자리를 그대로 다시 누르면 원래대로 돌아오기 때문입니다. 실제로 난이도별 500판을 확인했고 풀리지 않는 판은 하나도 없었습니다.
난이도는 켜진 칸 수로 잡을 수 없었습니다
처음에는 눌러 두는 자리 수로 난이도를 나누려 했습니다. 많이 눌러 두면 어려워질 것 같았는데 아니었습니다.
| 눌러 둔 자리 | 켜진 칸(평균) |
|---|---|
| 8개 | 11.9칸 |
| 14개 | 12.3칸 |
많이 누를수록 서로 상쇄돼 절반쯤 켜진 판으로 수렴합니다. 켜진 칸 수로는 난이도가 갈리지 않습니다.
실제로 어려움을 가르는 것은 최소 몇 번 눌러야 꺼지는가입니다. 답이 넷 딸려 오므로 그중 가장 적게 누르는 것을 최소 해로 봅니다. 어려움 난이도 3,000판의 분포는 이렇습니다.
| 최소 해 | 비율 |
|---|---|
| 9번 | 31% |
| 10번 | 30% |
| 11번 | 23% |
| 12번 | 12% |
| 13번 이상 | 5% |
이 값을 판마다 계산해 화면에 미리 적어 줍니다. 목표를 모르면 몇 번에 끝냈다는 것이 뜻을 갖지 못하기 때문입니다.
자주 묻는 질문
아무리 눌러도 안 꺼지는 판이 나올 수 있나요?
슬롯플레이에서는 나오지 않습니다. 불을 무작위로 켜지 않고 다 꺼진 판에서 몇 자리를 눌러 만들기 때문에, 나오는 판은 모두 풀립니다.
누르는 순서가 중요한가요?
아니요. 불은 켜짐과 꺼짐 둘뿐이고 누르기는 뒤집기라, 어느 순서로 눌러도 같은 자리를 눌렀다면 결과가 같습니다. 답은 어디를 누를지 고르는 문제입니다.
최소 해는 어떻게 계산하나요?
연립방정식을 풀어 답을 하나 구한 뒤, 아무것도 바꾸지 않는 조합 셋을 각각 더해 보고 가장 적게 누르는 것을 고릅니다.
코인이 드나요?
아니요. 라이츠 아웃은 코인 차감이 없고 연령 제한 없이 즐길 수 있습니다.