제비뽑기는 먼저 뽑는 게 유리할까 — 몇 번째든 확률은 같습니다

왜 같을까 — 두 가지로 설명해 볼게요

첫째, 직접 계산하기. 두 번째 사람의 확률을 따져 봅니다. 첫 사람이 뭘 뽑았는지에 따라 경우가 둘로 갈려요.

첫 사람이 동그라미(3/10)  → 남은 9장 중 동그라미 2장 → 2/9
첫 사람이 꽝(7/10)        → 남은 9장 중 동그라미 3장 → 3/9

둘째의 당첨 확률 = 3/10 × 2/9 + 7/10 × 3/9
               = 6/90 + 21/90 = 27/90 = 3/10

정확히 30%로 돌아옵니다. 앞사람이 동그라미를 가져갈 수도 있지만, 꽝을 가져가서 동그라미 비율을 올려 줄 수도 있거든요. 두 효과가 딱 맞게 상쇄됩니다. 셋째, 넷째도 같은 방식으로 계산하면 모두 3/10이 나옵니다.

둘째, 섞은 순서로 보기. 이쪽이 더 직관적입니다. 뽑는 과정을 이렇게 바꿔 생각해 보세요. 통을 잘 흔들어서 쪽지 10장을 한 줄로 늘어놓고, 1번 사람은 첫째 장, 2번 사람은 둘째 장… 이렇게 가져간다고요.

잘 섞었다면 동그라미가 일곱째 자리에 있을 확률이나 첫째 자리에 있을 확률이나 다를 이유가 없습니다. 차례로 뽑는 것도 결국 이 줄을 앞에서부터 하나씩 펼치는 것과 같아요. 펼치는 순서가 쪽지의 자리를 바꾸지는 않습니다.

앞사람 결과를 보고 나면 달라집니다

여기가 헷갈리는 지점입니다. 뽑기 전에 따진 확률은 누구든 30%입니다. 그런데 앞사람들이 쪽지를 펼쳐 보인 뒤에는 남은 사람의 확률이 바뀝니다.

첫 사람의 결과를 본 뒤 두 번째 사람의 확률은 이렇습니다.

첫 사람 결과	둘째의 당첨 확률	100만 번 돌린 값
동그라미	2/9 = 22.2%	22.20%
꽝	3/9 = 33.3%	33.42%

네 번째 사람 입장에서 앞의 세 명을 지켜본 경우도 계산해 봤습니다.

앞 3명 중 동그라미	그렇게 될 확률	넷째의 당첨 확률
0장	29.2%	3/7 = 42.9%
1장	52.5%	2/7 = 28.6%
2장	17.5%	1/7 = 14.3%
3장	0.8%	0/7 = 0%

결과를 보고 나면 42.9%일 때도 있고 0%일 때도 있습니다. 하지만 뽑기 전에는 넷 중 어느 상황이 올지 모르죠. 네 경우를 "그렇게 될 확률"로 가중해 더하면 다시 30%입니다.

그러니까 두 말이 다 맞습니다. "순서와 상관없이 30%"는 뽑기 전 이야기이고, "앞사람이 다 가져가서 불리해졌다"는 결과를 본 뒤 이야기예요. 이 둘을 섞어 말하면 논쟁이 끝나지 않습니다.

그런데 왜 뒤에 뽑으면 손해 같을까

확률이 같다는 걸 알아도 마지막에 뽑는 건 영 찜찜합니다. 이 느낌에는 숫자로 된 근거가 있어요.

막대는 내 차례가 오기 전에 동그라미 3장이 이미 다 나가 버렸을 확률입니다. 앞쪽 세 명은 0%인데 뒤로 갈수록 커져서, 마지막 사람은 70%가 됩니다. 100만 번 시뮬레이션에서도 70.0%였어요.

마지막 사람이 겪는 일을 풀어 보면 이렇습니다.

• 70%의 판에서는 쪽지를 펴기도 전에 꽝으로 결정돼 있습니다.
• 나머지 30%의 판에서는 남은 한 장이 반드시 동그라미입니다.

마지막 사람에게는 사실 "뽑는" 순간이 없습니다. 결과는 앞사람들이 펼치는 동안 이미 정해져요. 그래서 희망이 사라지는 장면을 가장 많이 지켜보는 자리가 됩니다. 확률은 같아도 체감이 다른 이유입니다.

당첨이 한 장이고 나오는 순간 멈추는 방식이면 이 차이가 더 두드러집니다. 반 30명 중 대표 한 명을 뽑는다고 해 볼게요.

순서	당첨 확률	뽑을 차례가 올 확률
1번째	3.33%	100%
10번째	3.33%	70.0%
20번째	3.33%	36.7%
30번째	3.33%	3.3%

30번째 학생은 대개 쪽지를 만져 보지도 못하고 끝납니다. 그래도 당첨 확률은 1번째와 똑같은 3.33%예요. 차례가 오기만 하면 그때는 반드시 당첨이니까요.

되돌려 넣으면 이야기가 다릅니다

뽑은 쪽지를 확인하고 다시 통에 넣는 방식이라면 어떨까요? 이때는 매번 10장 중 3장이 동그라미인 상태에서 뽑으니, 누구든 30%라는 점은 같습니다. 앞사람 결과가 내 확률을 바꾸지도 않아요.

대신 몇 명이 뽑힐지가 정해지지 않습니다.

당첨자 수	안 넣고 뽑기	뽑고 다시 넣기
0명	0%	2.8%
1~2명	0%	35.5%
3명	100%	26.7%
4명 이상	0%	35.0%

다시 넣는 방식으로 10명이 한 번씩 뽑으면 딱 3명이 나오는 판은 26.7%뿐입니다. 100만 번 돌린 값은 26.64%였어요. 아무도 안 뽑히는 판도 2.8%(시뮬레이션 2.86%) 있습니다. 발표자를 정확히 세 명 정해야 한다면 다시 넣지 않는 방식을 써야 합니다.

공정하게 뽑으려면

계산이 알려 주는 요령은 단순합니다.

• 순서는 신경 쓰지 않아도 됩니다. 먼저 뽑든 나중에 뽑든 확률은 같습니다.
• 쪽지 모양과 접는 방식을 똑같이 만드세요. 확률이 같다는 계산은 "어떤 쪽지든 똑같이 집힌다"는 전제에서만 성립합니다.
• 잘 섞는 게 핵심입니다. 동그라미 쪽지를 마지막에 넣고 흔들지 않으면 위쪽에 몰려 있을 수 있습니다.
• 뒷사람의 찜찜함이 신경 쓰이면 다 같이 한 장씩 쥐고 동시에 펴는 방식이 좋습니다. 확률은 똑같고, 지켜보며 기다리는 시간만 사라집니다.

정리하면

• 10장 중 당첨 3장이면 몇 번째든 30% — 100만 번 돌려 29.94~30.08%
• 앞사람이 가져갈 수도, 꽝을 가져가 비율을 올려 줄 수도 있어서 두 효과가 정확히 상쇄됩니다
• 결과를 본 뒤에는 달라집니다 — 첫 사람이 당첨이면 둘째는 22.2%, 꽝이면 33.3%
• 마지막 사람은 70%의 판에서 차례가 오기 전에 당첨이 다 나갑니다. 체감이 다른 이유입니다
• 다시 넣는 방식은 확률이 30%로 같지만 당첨자 수가 정해지지 않습니다(딱 3명은 26.7%)

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자주 묻는 질문

제비뽑기는 먼저 뽑는 게 유리한가요?

아닙니다. 뽑은 제비를 다시 넣지 않고 차례로 뽑으면 몇 번째로 뽑든 당첨 확률은 같습니다. 10장 중 당첨 3장이라면 누구든 30%이며, 100만 번 시뮬레이션에서도 순서별로 29.94~30.08%가 나왔습니다.

앞사람이 당첨을 뽑으면 제 확률은 줄어드나요?

결과를 본 뒤라면 줄어듭니다. 10장 중 3장일 때 첫 사람이 당첨이면 둘째의 확률은 2/9(22.2%), 꽝이면 3/9(33.3%)입니다. 다만 뽑기 전에는 두 경우 중 무엇이 올지 모르므로, 가중해서 더하면 다시 30%가 됩니다.

마지막에 뽑으면 왜 손해 보는 느낌이 드나요?

차례가 오기 전에 당첨이 다 나가 버리는 일이 잦기 때문입니다. 10장 중 3장이면 마지막 사람은 70%의 판에서 이미 꽝으로 정해진 상태로 차례를 맞습니다. 대신 나머지 30%의 판에서는 남은 한 장이 반드시 당첨이라, 전체 확률은 다른 사람과 같은 30%입니다.

뽑은 제비를 다시 넣으면 어떻게 달라지나요?

누구든 매번 같은 확률로 뽑는다는 점은 같지만, 당첨자 수가 정해지지 않습니다. 10명이 10장 중 3장짜리 제비를 한 번씩 뽑고 매번 되돌려 넣으면 정확히 3명이 당첨되는 경우는 26.7%이고, 아무도 당첨되지 않는 경우도 2.8% 있습니다.

당첨이 나오면 바로 멈추는 방식도 공평한가요?

공평합니다. 30명 중 1명을 뽑을 때 30번째 사람은 차례가 올 확률이 3.3%에 불과하지만, 차례가 오면 남은 한 장이 반드시 당첨입니다. 두 값을 곱하면 1번째 사람과 같은 3.33%가 됩니다.

제비뽑기를 공정하게 하려면 무엇이 중요한가요?

순서보다 제비의 모양과 섞기가 중요합니다. 모든 제비가 같은 확률로 집혀야 순서별 확률이 같다는 계산이 성립합니다. 기다리는 부담을 없애고 싶다면 모두 한 장씩 쥐고 동시에 펴는 방법도 있습니다.