몬티 홀 문제 — 바꾸면 3번 중 2번 이긴다
핵심 요약 — 문 세 개 뒤에 자동차 한 대와 염소 두 마리가 있습니다. 하나를 고르면 답을 아는 사회자가 남은 문 중 염소 문을 하나 열고 "바꾸시겠어요?"라고 묻습니다. 이때 바꾸면 2/3, 그대로 두면 1/3로 자동차를 가져갑니다. 100만 판을 돌려 보니 바꾸기 66.64%, 유지 33.36%였어요. 문이 100개이고 사회자가 98개를 열어 주면 바꾸기가 99%가 됩니다. 단, 사회자가 모르고 열었는데 우연히 염소가 나온 경우라면 이야기가 달라져서 바꾸든 말든 50%입니다(시뮬레이션 50.05% 대 49.95%).
문제 — 세 개의 문
퀴즈 쇼 무대에 문이 세 개 있습니다. 하나 뒤에는 자동차가, 나머지 둘 뒤에는 염소가 있어요. 규칙은 이렇습니다.
- 참가자가 문 하나를 고릅니다. 아직 열지는 않습니다.
- 사회자는 자동차가 어디 있는지 압니다. 참가자가 고르지 않은 두 문 중 염소가 있는 문을 하나 엽니다. 둘 다 염소면 아무거나 엽니다.
- 사회자는 늘 이렇게 문을 열고, 늘 "처음 고른 문을 그대로 두시겠어요, 남은 문으로 바꾸시겠어요?"라고 묻습니다.
바꾸는 게 나을까요, 그대로 두는 게 나을까요?
대부분은 "반반"이라고 답합니다
문이 두 개 남았고, 하나에 자동차가 있습니다. 그러니 반반 아닐까요? 바꾸든 말든 똑같아 보입니다.
그런데 정답은 바꾸는 쪽이 두 배 유리합니다. 바꾸면 2/3, 그대로 두면 1/3입니다.
처음 들으면 받아들이기 어렵습니다. 그래서 두 가지로 확인했어요. 경우의 수를 빠짐없이 세고, 100만 판을 직접 돌렸습니다.
경우의 수를 전부 세어 보면
참가자가 1번 문을 골랐다고 하겠습니다. 어느 문을 골라도 구조는 같으니까요. 자동차는 세 문 중 한 곳에 1/3씩 있습니다.
- 자동차가 1번(내가 고른 문): 사회자는 2번이든 3번이든 엽니다. 바꾸면 집니다.
- 자동차가 2번: 사회자는 3번만 열 수 있습니다. 남은 문은 2번, 바꾸면 이깁니다.
- 자동차가 3번: 사회자는 2번만 열 수 있습니다. 남은 문은 3번, 바꾸면 이깁니다.
세 경우가 모두 1/3씩이고, 바꾸기는 그중 두 경우에서 이깁니다. 자동차 위치 3가지 × 내 선택 3가지 × 사회자의 선택까지 전부 가중해 더해도 바꾸기 2/3, 유지 1/3이 정확히 나옵니다.
핵심은 이 문장입니다. 처음 고른 문이 자동차일 확률은 1/3이고, 사회자가 문을 연다고 그 확률이 바뀌지 않습니다. 사회자는 어떤 경우에도 염소 문을 열 수 있으니, 문을 열었다는 사실이 내 문에 대해 새로 알려 주는 게 없어요. 그러면 남은 2/3는 전부 남은 한 문으로 몰립니다.
100만 판 돌려 보니
같은 규칙으로 무작위 판을 100만 번 만들었습니다. 자동차 위치와 참가자의 선택을 매번 무작위로 정하고, 사회자는 규칙대로 염소 문을 엽니다.
| 판 수 | 바꿨을 때 승률 | 그대로 뒀을 때 승률 |
|---|---|---|
| 10판 | 70.00% | 30.00% |
| 100판 | 69.00% | 31.00% |
| 1,000판 | 67.20% | 32.80% |
| 1만 판 | 66.75% | 33.25% |
| 10만 판 | 66.59% | 33.41% |
| 100만 판 | 66.64% | 33.36% |
판이 쌓일수록 2/3(66.67%)과 1/3(33.33%)에 붙어 갑니다. 100만 판에서 바꾸기가 이긴 횟수는 666,378번이었어요.
문이 100개라면 — 직관이 돌아옵니다
그래도 와닿지 않는다면 문을 늘려 보세요. 문이 100개이고 자동차는 하나입니다. 1번 문을 골랐더니, 답을 아는 사회자가 나머지 99개 중 염소 문 98개를 활짝 열고 딱 하나만 남겨 둡니다. 예를 들면 73번 문이요.
이제 1번 문과 73번 문, 둘 중 어디에 자동차가 있을 것 같나요?
1번 문은 100개 중에서 아무 정보 없이 찍은 문입니다. 맞을 확률은 1%예요. 73번 문은 사회자가 98개를 피해 가며 일부러 남긴 문입니다. 내가 처음에 틀렸다면(99%) 자동차는 반드시 73번 뒤에 있습니다. 100만 판 시뮬레이션도 바꾸기 99.00%, 유지 1.00%였어요.
| 문 개수 | 사회자가 여는 문 | 유지 | 바꾸기 |
|---|---|---|---|
| 3개 | 1개 | 33.3% | 66.7% |
| 4개 | 2개 | 25.0% | 75.0% |
| 10개 | 8개 | 10.0% | 90.0% |
| 100개 | 98개 | 1.0% | 99.0% |
| 100개 | 1개만 | 1.0% | 1.01% |
마지막 줄도 재미있습니다. 100개 중 한 개만 열어 주면 남은 98개 중 하나로 바꿔 봐야 1.01%입니다. 바꾸는 게 여전히 조금 낫지만 거의 차이가 없어요. 바꾸기가 힘을 얻는 건 사회자가 얼마나 많은 정보를 걸러 주느냐에 달려 있다는 뜻입니다.
사회자가 모르고 열었다면 — 반반이 됩니다
이제 규칙 하나만 바꿔 보겠습니다. 사회자가 자동차 위치를 모르고, 남은 두 문 중 아무거나 연다고 해요. 이번에는 우연히 염소가 나왔습니다. 겉으로 보이는 장면은 앞의 문제와 완전히 같습니다.
그런데 답이 달라집니다. 이번에도 1번 문을 골랐다고 하고, 똑같이 가능한 여섯 경우를 세어 봤습니다.
| 자동차 | 사회자가 연 문 | 결과 |
|---|---|---|
| 1번 | 2번 (염소) | 유지 승 |
| 1번 | 3번 (염소) | 유지 승 |
| 2번 | 2번 (자동차) | 무효 — 이 판은 성립하지 않음 |
| 2번 | 3번 (염소) | 바꾸기 승 |
| 3번 | 2번 (염소) | 바꾸기 승 |
| 3번 | 3번 (자동차) | 무효 — 이 판은 성립하지 않음 |
염소가 나온 네 경우 중 유지가 둘, 바꾸기가 둘. 반반입니다.
차이는 무효가 된 두 줄에 있습니다. 모르는 사회자는 3판 중 1판꼴로 자동차를 열어 버립니다. 그런데 그렇게 날아간 판은 전부 "바꿨으면 이겼을" 판이에요. 염소가 나왔다는 사실 자체가 "내가 처음에 맞혔을 가능성"을 조금 올려 주는 증거가 되는 겁니다.
100만 판으로 확인했습니다.
모르는 사회자는 100만 판 중 33.26%에서 자동차 문을 열었습니다. 염소가 나온 나머지 판만 모으면 바꾸기 50.05%, 유지 49.95%. 계산대로 반반이에요.
같은 장면을 보고도 답이 다른 이유가 여기 있습니다. 확률을 정하는 건 눈앞의 장면이 아니라, 그 장면이 만들어진 규칙입니다.
1990년의 논쟁
이 문제는 미국 퀴즈 쇼 「Let's Make a Deal」의 진행자 몬티 홀의 이름을 따서 불립니다. 널리 알려진 건 1990년, 미국 주간지 퍼레이드(Parade)에 실린 메릴린 보스 사반트의 질문·답변 칼럼에서였어요. 사반트가 "바꾸는 편이 낫다"고 답하자 틀렸다는 반박 편지가 쏟아졌고, 그중에는 박사 학위를 가진 사람들도 적지 않았다고 알려져 있습니다.
결과적으로 옳았던 쪽은 칼럼이었습니다. 다만 논쟁이 길어진 데는 이유도 있었어요. 앞에서 본 것처럼 사회자가 늘 알고 연다는 조건이 빠지면 답이 반반으로 바뀌거든요. 문제를 어떻게 읽었느냐에 따라 양쪽 모두 자기 계산이 맞다고 느낄 여지가 있었던 셈입니다.
정리하면
- 사회자가 알고, 늘 염소 문을 열고, 늘 바꿀 기회를 준다면 바꾸기 2/3, 유지 1/3
- 100만 판 시뮬레이션: 바꾸기 66.64%, 유지 33.36%
- 처음 고른 문의 확률 1/3은 사회자가 문을 열어도 그대로라서 남은 2/3가 한 문으로 몰립니다
- 문 100개에 98개를 열어 주면 바꾸기 99% — 직관을 돕는 가장 쉬운 방법입니다
- 사회자가 모르고 열었는데 우연히 염소였다면 반반(시뮬레이션 50.05% 대 49.95%)
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자주 묻는 질문
몬티 홀 문제에서 정말 바꾸는 게 유리한가요?
사회자가 자동차 위치를 알고, 늘 염소 문을 하나 열고, 늘 바꿀 기회를 준다는 조건이라면 그렇습니다. 바꾸면 2/3, 그대로 두면 1/3로 자동차를 가져갑니다. 100만 판 시뮬레이션에서도 바꾸기 66.64%, 유지 33.36%가 나왔습니다.
문이 두 개 남았는데 왜 반반이 아닌가요?
두 문이 같은 방식으로 남은 것이 아니기 때문입니다. 처음 고른 문은 아무 정보 없이 고른 것이라 1/3이고, 남은 문은 사회자가 염소를 피해 일부러 남긴 문입니다. 처음 선택이 틀렸을 확률 2/3가 모두 그 문으로 옮겨 갑니다.
사회자가 모르고 문을 열었다면 어떻게 되나요?
우연히 염소가 나왔다면 바꾸든 그대로 두든 1/2입니다. 모르는 사회자는 3판 중 1판꼴로 자동차 문을 열어 버리는데, 그 판들은 모두 바꿨다면 이겼을 판입니다. 이 판들이 빠지면서 남은 판에서 바꾸기와 유지가 같아집니다. 시뮬레이션 결과는 바꾸기 50.05%, 유지 49.95%였습니다.
문이 많아지면 어떻게 되나요?
사회자가 하나만 남기고 전부 열어 준다면 바꾸기가 더 유리해집니다. 문이 100개이고 98개를 열어 주면 바꾸기 99%, 유지 1%입니다. 반대로 100개 중 한 개만 열어 준다면 바꿔도 1.01%로 거의 차이가 없습니다.
사회자가 내가 맞혔을 때만 바꾸라고 권한다면요?
그러면 계산이 완전히 달라집니다. 몬티 홀 문제의 2/3는 사회자가 매번 같은 규칙으로 문을 열고 제안한다는 전제에서 나온 값입니다. 사회자가 상황을 보고 제안 여부를 고른다면 그 규칙을 알아야 확률을 계산할 수 있습니다.
몬티 홀 문제는 왜 그렇게 유명해졌나요?
1990년 미국 주간지 퍼레이드의 질문·답변 칼럼에서 "바꾸는 편이 낫다"는 답이 실린 뒤, 틀렸다는 반박 편지가 많이 왔던 일로 널리 알려졌습니다. 반박한 사람 중에는 전문 교육을 받은 사람들도 있었다고 전해지며, 직관과 계산이 크게 어긋나는 대표적인 예로 자주 소개됩니다.