사다리타기는 공정할까 — 가로줄이 적으면 바로 아래로 떨어집니다
핵심 요약 — 4명이 사다리를 타는데 가로줄을 무작위로 6개 그으면, 1번 줄에서 출발한 사람이 바로 아래 1번 칸에 도착할 확률은 36.6%, 맞은편 끝 4번 칸은 13.4%입니다. 고르다면 둘 다 25%여야 해요. 100만 번 돌려 본 값도 36.65%와 13.42%로 같았습니다. 6명에 10개면 차이가 28배까지 벌어집니다. 모든 칸이 균등값 ±1%p 안에 들어오려면 4명은 18개, 6명은 63개가 필요합니다. 그래도 방법은 있습니다. 도착 칸을 가려 두고 섞으면 가로줄이 몇 개든 누구나 똑같이 1/n입니다.
사다리는 정말 운에 맡긴 걸까
누가 커피를 사러 갈지, 이번 주 청소 당번이 누구일지. 사다리타기만큼 간단한 결정 방법도 드뭅니다. 세로줄을 사람 수만큼 긋고, 아래에 결과를 적고, 가로줄을 몇 개 쓱쓱 그으면 끝이지요.
그런데 한 번쯤 이런 느낌 받아 보셨을 거예요. "어째 바로 아래로 잘 떨어지는 것 같은데?"
기분 탓이 아닙니다. 가로줄을 몇 개만 그으면 사다리는 출발한 줄 근처에 도착하는 쪽으로 쏠립니다. 얼마나 쏠리는지, 몇 개를 그어야 고르게 되는지 계산해 봤습니다.
먼저 규칙부터 — 이렇게 긋는다고 가정합니다
사람마다 긋는 버릇이 다르니 계산하려면 규칙을 하나로 정해야 합니다. 이 글은 이렇게 잡았습니다.
- 세로줄은 n개(사람 수)입니다.
- 가로줄은 m개를 위에서부터 하나씩 긋습니다.
- 가로줄 하나는 이웃한 두 세로줄 사이 n−1곳 중 한 곳에 무작위로(모든 곳이 같은 확률로) 걸립니다.
- 높이는 앞서 그은 가로줄보다 아래로 둡니다. 그래서 가로줄끼리 같은 높이에서 부딪히지 않습니다.
실제로는 사람들이 "비어 보이는 곳"에 긋는 경향이 있어서 이보다 조금 고르게 퍼질 수도 있습니다. 다만 뼈대는 같아요. 가로줄 하나가 할 수 있는 일은 이웃한 두 줄을 한 번 맞바꾸는 것뿐이라는 점입니다.
이 덕분에 계산이 깔끔해집니다. 한 사람의 위치만 따라가면 가로줄 하나마다 "왼쪽으로 한 칸, 오른쪽으로 한 칸, 그대로" 셋 중 하나가 일어나요. 4명이면 가운데 줄에 선 사람은 가로줄 하나에 1/3 확률로 왼쪽, 1/3로 오른쪽, 1/3로 제자리입니다. 끝줄에 선 사람은 옆 칸이 하나뿐이라 1/3로 옮기고 2/3로 제자리예요.
이렇게 "지금 위치만 보고 다음 위치가 정해지는" 과정을 마르코프 연쇄라고 부릅니다. 한 번 움직일 확률을 표(전이 행렬)로 만들어 m번 곱하면 정확한 도착 확률이 나옵니다.
사다리는 왜 한 칸에 한 사람만 도착할까
계산 전에 짚어 둘 것이 있습니다. 사다리를 아무리 엉망으로 그어도 두 사람이 같은 칸에 도착하는 일은 없습니다. 그 이유는 방금 말한 성질에 있어요.
가로줄에서 일어나는 일을 보면, 왼쪽 줄을 타고 내려오던 사람은 오른쪽 줄로 건너가고 오른쪽 줄의 사람은 왼쪽으로 건너갑니다. 두 사람이 자리를 맞바꿀 뿐, 한 줄로 합쳐지지 않습니다. 가로줄이 없는 구간에서는 각자 자기 줄을 따라 내려가고요.
어느 높이에서 잘라 봐도 세로줄마다 딱 한 사람씩 서 있다는 뜻입니다. 맨 아래에 닿을 때도 마찬가지예요. 수학에서는 이것을 "맞바꿈을 여러 번 해도 결과는 순열"이라고 표현합니다. 100만 번 돌린 시뮬레이션에서도 도착 칸이 겹친 사다리는 0개였습니다.
4명, 가로줄 6개 — 표로 보면
한 사람당 한두 개씩 그으면 대개 이쯤 됩니다. 4명에 가로줄 6개, 두 줄 사이 한 곳에 평균 2개꼴이에요.
| 출발 ↓ / 도착 → | 1번 칸 | 2번 칸 | 3번 칸 | 4번 칸 |
|---|---|---|---|---|
| 1번 줄 | 36.6% | 29.8% | 20.2% | 13.4% |
| 2번 줄 | 29.8% | 27.0% | 23.0% | 20.2% |
| 3번 줄 | 20.2% | 23.0% | 27.0% | 29.8% |
| 4번 줄 | 13.4% | 20.2% | 29.8% | 36.6% |
고르다면 모든 칸이 25%여야 합니다. 그런데 1번 줄에서 출발하면 바로 아래 칸이 36.6%, 맞은편 끝이 13.4%입니다. 2.7배 차이예요.
같은 조건으로 무작위 사다리를 100만 번 만들어 태워 봤습니다. 1번 줄 출발 기준으로 36.65% · 29.76% · 20.17% · 13.42%. 이론값과 소수점 첫째 자리까지 같습니다.
끝줄이 특히 잘 버티는 이유도 간단합니다. 끝줄에는 옆 칸이 하나뿐이라 가로줄이 붙을 확률이 가운데 줄의 절반이에요. 가로줄 6개가 전부 1번 줄을 비껴갈 확률만 해도 8.8%입니다. 가운데 줄이 한 번도 안 움직일 확률은 0.14%에 그치고요.
사람이 늘면 훨씬 심해집니다
6명으로 늘리고 가로줄을 10개 그어 보겠습니다. 두 줄 사이마다 2개꼴이니 4명·6개와 밀도는 같습니다.
고르다면 모든 칸이 16.7%여야 하는데, 1번 줄 출발자는 1번 칸에 37.4%, 6번 칸에는 1.3%뿐입니다. 약 28배예요. 100만 번 시뮬레이션에서도 37.43%와 1.34%가 나왔습니다.
1번 줄에서 6번 칸까지 가려면 오른쪽으로 다섯 번 건너가야 합니다. 가로줄 10개 중 적어도 5개가 마침 그 사람이 서 있는 자리 오른쪽에, 순서대로 걸려야 하지요. 쉽게 일어나는 일이 아닙니다.
가로줄 수를 늘려 가며 보면 이렇습니다.
| 사다리 | 가로줄 | 끝줄 → 바로 아래 | 끝줄 → 맞은편 끝 | 차이 |
|---|---|---|---|---|
| 4명 | 3개 | 48.1% | 3.7% | 13배 |
| 4명 | 6개 | 36.6% | 13.4% | 2.7배 |
| 4명 | 10개 | 29.9% | 20.1% | 1.5배 |
| 4명 | 18개 | 25.9% | 24.1% | 1.07배 |
| 6명 | 10개 | 37.4% | 1.3% | 28배 |
| 6명 | 20개 | 27.3% | 6.6% | 4.1배 |
| 6명 | 30개 | 22.7% | 10.7% | 2.1배 |
| 6명 | 63개 | 17.6% | 15.7% | 1.12배 |
몇 개를 그어야 고르게 될까
"고르다"의 기준을 모든 출발 줄·모든 도착 칸이 균등값에서 1%p 이내로 잡았습니다. 4명이면 모든 칸이 24~26% 사이에 들어와야 한다는 뜻이에요.
| 세로줄(사람) | 필요한 가로줄 | 두 줄 사이 한 곳당 |
|---|---|---|
| 3개 | 7개 | 3.5개 |
| 4개 | 18개 | 6.0개 |
| 5개 | 36개 | 9.0개 |
| 6개 | 63개 | 12.6개 |
| 8개 | 145개 | 20.7개 |
사람이 늘면 필요한 가로줄이 사람 수보다 훨씬 빠르게 늘어납니다. 줄이 많아질수록 끝에서 끝까지 건너가야 할 거리가 멀어지고, 가로줄 하나가 특정 줄에 걸릴 확률은 줄어들기 때문이에요. 두 효과가 겹치니 6명만 돼도 60개가 넘습니다.
현실에서 6명이 63개를 긋는 일은 거의 없습니다. 보통 그리는 사다리는 고르지 않은 쪽이라고 보는 게 맞습니다.
그럼 사다리타기는 불공정한가요
여기서 반전이 있습니다. 쏠림이 곧 불공정은 아닙니다. 쏠림이 문제가 되는 건 누가 어느 결과로 갈지 미리 짐작할 수 있을 때뿐이에요.
- 도착 칸이 보이는 상태에서 출발 줄을 고르면 불리함이 생깁니다. 가로줄이 적을수록 "원하는 결과 바로 위 줄"을 고른 사람이 유리해요.
- 도착 칸을 접어서 가려 두고, 적는 사람도 순서를 무작위로 섞으면 이야기가 달라집니다. 사다리는 한 칸에 한 사람만 보내는 순열이라, 결과 배치가 무작위이기만 하면 어느 줄을 고르든 모든 결과가 정확히 1/n입니다. 가로줄이 하나도 없어도 그렇습니다.
결국 사다리의 공정함은 가로줄 개수보다 "가려 두기"에서 나옵니다. 흔히 하는 방식, 그러니까 아래를 접어 두고 각자 줄을 고른 뒤 한두 개씩 가로줄을 보태는 방식은 그래서 괜찮습니다. 결과가 보이는 사다리라면 가로줄을 넉넉히, 4명 기준 18개 이상 긋는 편이 낫습니다.
정리하면
- 가로줄 하나는 이웃한 두 줄을 맞바꿀 뿐이라, 사다리는 늘 한 칸에 한 사람만 보냅니다
- 4명·가로줄 6개: 1번 줄 → 바로 아래 36.6%, 맞은편 끝 13.4% (100만 번 시뮬레이션 36.65% · 13.42%)
- 6명·가로줄 10개: 바로 아래 37.4%, 맞은편 끝 1.3% — 약 28배
- 모든 칸이 ±1%p 안에 들려면 4명 18개, 6명 63개, 8명 145개
- 도착 칸을 가리고 섞으면 가로줄 개수와 상관없이 누구나 정확히 1/n입니다
함께 읽기
자주 묻는 질문
사다리타기는 바로 아래 칸이 잘 나오나요?
가로줄이 적으면 그렇습니다. 4명 사다리에 가로줄 6개를 무작위로 그으면 끝줄에서 출발해 바로 아래 칸에 도착할 확률은 36.6%로, 균등값 25%보다 높습니다. 맞은편 끝 칸은 13.4%에 그칩니다. 무작위 사다리 100만 개로 확인한 값도 36.65%와 13.42%였습니다.
사다리에서 두 사람이 같은 칸에 도착할 수도 있나요?
없습니다. 가로줄은 이웃한 두 줄의 사람을 서로 맞바꾸기만 하고 합치지는 않습니다. 그래서 어느 높이에서든 줄마다 한 사람씩 서 있고, 맨 아래에서도 한 칸에 한 사람씩 도착합니다.
가로줄을 몇 개 그어야 고르게 되나요?
모든 칸이 균등값 ±1%p 안에 드는 것을 기준으로 하면 3명은 7개, 4명은 18개, 5명은 36개, 6명은 63개가 필요합니다. 사람이 늘수록 필요한 가로줄이 빠르게 늘어납니다.
끝줄이 가운데 줄보다 더 제자리에 머무는 이유는 무엇인가요?
끝줄은 옆 칸이 한쪽에만 있어서 가로줄이 붙을 확률이 가운데 줄의 절반입니다. 4명에 가로줄 6개면 끝줄 출발자가 한 번도 옮기지 않을 확률이 8.8%인데, 가운데 줄은 0.14%입니다.
그러면 사다리타기는 불공정한 방법인가요?
도착 칸을 가려 두고 결과를 무작위로 배치하면 공정합니다. 사다리는 항상 한 칸에 한 사람을 보내는 순열이라, 결과 배치만 무작위라면 어느 줄을 골라도 모든 결과가 정확히 1/n입니다. 도착 칸이 보이는 상태에서 줄을 고를 때만 가로줄이 적은 사다리가 치우친 결과를 냅니다.
계산은 어떻게 했나요?
한 사람의 위치가 가로줄 하나마다 왼쪽·오른쪽·제자리 중 하나로 바뀌는 마르코프 연쇄로 보고, 한 번의 이동 확률을 담은 전이 행렬을 가로줄 수만큼 거듭제곱해 정확한 값을 구했습니다. 같은 규칙으로 무작위 사다리를 100만 개 만들어 태운 시뮬레이션 값과 비교해 일치하는 것을 확인했습니다.