카드는 몇 번 섞어야 제대로 섞일까 — 리플 셔플 일곱 번의 근거를 직접 계산했습니다

리플 셔플을 수로 옮기면

리플 셔플은 카드를 두 더미로 갈라 양손 엄지로 튕기며 한 장씩 엇갈려 떨어뜨리는 방법입니다. 이걸 계산하려면 사람 손을 규칙으로 바꿔야 합니다. 수학자들이 널리 쓰는 모형(길버트·섀넌·리즈 모형)은 두 줄이면 끝납니다.

• 가르기: 동전 52번을 던져 앞면 수만큼을 윗더미로 뗍니다. 대개 26장 안팎에서 갈립니다.
• 떨어뜨리기: 왼쪽 더미에 a장, 오른쪽에 b장 남았으면 왼쪽에서 떨어질 확률을 a/(a+b)로 둡니다. 많이 남은 쪽이 더 자주 떨어집니다.

실제 사람의 리플과 꽤 잘 맞는다고 알려진 모형입니다. 이 글의 리플 계산은 전부 이 규칙을 따릅니다.

한 번 섞은 카드에 남는 흔적

새 카드를 리플로 딱 한 번 섞으면 어떻게 될까요. 윗더미와 아랫더미는 각자 원래 순서를 지킨 채 엇갈리기만 합니다. 그래서 카드 번호를 따라가 보면 올라가는 줄기가 정확히 두 개뿐입니다. 이런 줄기를 상승열이라고 부릅니다.

또 하나 눈에 띄는 흔적이 있습니다. 새 카드에서 바로 이웃이던 두 장(♠A 다음 ♠2처럼)이 섞은 뒤에도 바로 붙어 있는 쌍의 수입니다. 처음에는 51쌍이 전부 붙어 있습니다. 완전히 무작위인 한 벌이라면 평균 51/52 ≈ 0.98쌍만 우연히 붙어 있어야 합니다.

리플 횟수별로 20만 번씩 시뮬레이션했습니다(시드 고정).

리플 횟수	붙어 있는 이웃 쌍	상승열 개수
1번	25.51쌍	2.00개
2번	12.76쌍	4.00개
3번	6.38쌍	7.95개
4번	3.31쌍	14.10개
5번	1.98쌍	19.60개
6번	1.43쌍	22.94개
7번	1.19쌍	24.71개
8번	1.08쌍	25.60개
10번	1.01쌍	26.27개
완전 무작위	0.98쌍	26.49개 (이론 26.5)

한 번 섞은 카드에는 이웃 쌍이 평균 25.51쌍 남았습니다. 20만 번 중 가장 적을 때도 10쌍이었고, 95.4%는 20쌍 이상이었습니다. 반쯤은 원래 순서 그대로라는 뜻입니다.

한 번 리플로 나올 수 있는 순서 자체도 2^52 − 52 ≈ 4.5×10^15가지뿐입니다. 52!에 비하면 먼지만 한 구석이지요.

완전히 섞인 상태와의 거리 — 정확식으로

흔적 하나하나를 보는 대신 "섞인 정도" 전체를 한 숫자로 잴 수도 있습니다. 쓰는 잣대는 총변동거리입니다. 어떤 판정 기준을 들이대든, 섞은 카드와 완전히 무작위인 카드가 그 기준을 통과할 확률의 차이가 최대 얼마인지를 뜻합니다. 1이면 확실히 구별되고, 0이면 전혀 구별되지 않습니다.

1992년 베이어와 디아코니스는 이 거리를 정확히 계산하는 식을 내놓았습니다. 핵심은 이렇습니다. 리플을 k번 한 뒤 어떤 순서가 나올 확률은 그 순서의 상승열 개수 r 하나로만 정해집니다.

확률 = C(2^k + 52 − r, 52) ÷ 2^(52k)

상승열이 r개인 순서가 몇 개인지는 오일러 수로 정확히 셀 수 있습니다. 그러니 52! 가지를 하나하나 볼 필요 없이 r = 1부터 52까지 52개 항만 더하면 됩니다. 정수로 끝까지 계산해 보니 이렇게 나왔습니다.

리플 횟수	완전히 섞인 상태와의 거리
1~4번	1.000
5번	0.924
6번	0.614
7번	0.334
8번	0.167
9번	0.085
10번	0.043

네 번까지는 거의 1, 무작위와 확실히 구별됩니다. 이유는 상승열에 있습니다. k번 리플한 카드는 상승열이 많아야 2^k개라 네 번이면 16개 이하인데, 무작위 한 벌에서 상승열이 16개 이하일 확률은 오일러 수로 세면 약 4.7×10^-7입니다. 상승열 개수만 세도 들통나는 셈이지요.

그러다 여섯 번째부터 무너지기 시작해 일곱 번째에 0.334로 내려옵니다. 여기서 처음으로 0.5 아래입니다. 그 뒤로는 한 번 섞을 때마다 거리가 거의 정확히 절반씩 줄어듭니다(0.334 → 0.167 → 0.085 → 0.043).

"카드는 일곱 번 섞으라"는 말이 여기서 나왔습니다. 일곱 번째에서 효과가 크게 드러나고, 그 뒤는 조금씩 다듬는 단계라는 뜻입니다. 물론 잣대를 다르게 잡으면 필요한 횟수가 조금씩 달라진다는 지적도 있습니다. 더 엄격하게 따지는 자리라면 8~10번이 마음 편합니다.

오버핸드 셔플은 훨씬 오래 걸립니다

카드를 한 손에 쥐고 위에서 몇 장씩 떼어 다른 손으로 옮기는 방법, 흔히 하는 오버핸드 셔플은 어떨까요. 이 방법은 떼어 낸 덩어리들의 순서만 뒤집고, 덩어리 안의 순서는 그대로 둡니다. 이웃 쌍이 끊기는 건 덩어리 경계에서뿐입니다.

한 번에 평균 5장씩, 또는 10장씩 떼어 옮긴다고 두고 4만 번씩 시뮬레이션했습니다.

섞은 방법	7번 섞은 뒤 이웃 쌍	무작위 수준(1.10쌍 이하)까지
리플	1.19쌍	8번
오버핸드 (5장씩)	11.62쌍	32번
오버핸드 (10장씩)	24.73쌍	57번

리플 일곱 번이면 이웃 쌍이 1.19쌍으로 거의 무작위 수준인데, 오버핸드 일곱 번은 11.62쌍, 덩어리를 크게 떼면 24.73쌍이 남습니다. 리플 한 번 한 것(25.51쌍)과 별 차이가 없습니다.

한 가지 더 확인했습니다. 카드 한 장의 위치가 52자리에 고르게 퍼지는지를 52장 전부에 대해 정확히 계산해, 가장 덜 퍼진 카드를 기준으로 거리 0.01 아래까지 걸린 횟수를 셌습니다. 리플은 10번, 5장씩 오버핸드는 59번이었습니다. 10장씩 떼면 15번으로 빨라지지만, 그 대신 위 표처럼 이웃 쌍은 가장 오래 남습니다. 큰 덩어리는 카드를 멀리 보내지만 덩어리째 보내기 때문입니다.

이웃 쌍을 기준으로 하면 오버핸드는 리플의 네 배(5장씩)에서 일곱 배(10장씩)를 섞어야 합니다. 수학 연구에서도 오버핸드는 카드 수가 늘수록 리플보다 훨씬 느리게 섞인다는 결과가 알려져 있습니다.

카드놀이 할 때 어떻게 쓰면 될까요

• 새 카드를 뜯었다면 리플 7번을 기본으로 삼으세요. 셋이나 넷에서 멈추면 무늬별 순서가 곳곳에 남습니다.
• 오버핸드만 한다면 일곱 번으로는 턱없이 부족합니다. 몇 번 오버핸드를 한 뒤 리플을 섞어 주는 편이 빠릅니다.
• 앞 판 카드를 모으는 방식도 흔적을 남깁니다. 짝 맞추기나 카드 쌓기 놀이처럼 같은 무늬·숫자끼리 모인 채로 거둔 카드는 새 카드와 비슷한 처지입니다.
• 컴퓨터는 사정이 다릅니다. 슬롯플레이의 솔리테어는 서버에서 맨 끝 카드부터 한 장씩 남은 카드 중 무작위 위치와 바꾸는 방식(피셔–예이츠)으로 섞습니다. 이 방식은 한 번에 52! 가지 순서를 모두 같은 확률로 내놓기 때문에 몇 번 섞을지 고민할 필요가 없습니다.

정리하면

• 52장이 놓이는 순서는 52! ≈ 8.07×10^67가지(68자리) — 잘 섞인 한 벌은 사실상 처음 나온 순서입니다
• 리플 한 번이면 상승열 2개, 이웃 쌍 평균 25.51쌍이 남습니다 — 무작위라면 0.98쌍
• 정확식으로 잰 거리는 4번까지 1.000 → 6번 0.614 → 7번 0.334, 그 뒤로는 한 번에 절반씩 줄어듭니다
• 오버핸드는 이웃 쌍 흔적을 지우는 데 32번(5장씩)~57번(10장씩)이 걸렸습니다 — 리플은 8번
• 새 카드라면 리플 7번, 오버핸드만으로는 한참 더 섞어야 합니다

자주 묻는 질문

카드는 몇 번 섞어야 충분한가요?

리플 셔플 기준으로 7번이 널리 쓰이는 답입니다. 완전히 섞인 상태와의 거리를 정확히 계산하면 6번은 0.614, 7번은 0.334로 여기서 처음 절반 아래로 내려오고, 그 뒤로는 한 번 섞을 때마다 절반씩 줄어듭니다. 더 엄격하게 섞고 싶다면 810번이면 0.1670.043까지 내려갑니다.

52!은 정확히 얼마인가요?

68자리 수로, 약 8.07×10^67입니다. 앞자리는 80,658,175,170…이고 끝에는 0이 12개 붙습니다. 1초에 10억 가지씩 늘어놓아도 약 2.56×10^51년이 걸립니다.

세 번쯤 섞으면 겉보기에는 충분히 섞인 것 같은데요?

겉보기와 달리 흔적이 많이 남습니다. 리플 3번 뒤에도 새 카드에서 이웃이던 두 장이 평균 6.38쌍 붙어 있고(무작위라면 0.98쌍), 올라가는 줄기인 상승열이 최대 8개뿐이라 무작위 한 벌(평균 26.5개)과 확실히 구별됩니다. 정확식으로 잰 거리도 1.000입니다.

오버핸드 셔플로는 몇 번 섞어야 하나요?

한 번에 5장씩 떼어 옮긴다고 두고 시뮬레이션했을 때, 새 카드의 이웃 쌍이 무작위 수준까지 줄어드는 데 32번이 걸렸습니다. 10장씩 크게 떼면 57번입니다. 같은 기준으로 리플은 8번이면 됩니다.

너무 많이 섞으면 오히려 덜 섞이나요?

무작위로 섞는 한 그렇지 않습니다. 거리는 섞을수록 계속 줄어들 뿐 다시 늘지 않습니다. 다만 매번 정확히 반반으로 갈라 한 장씩 번갈아 끼우는 완벽한 셔플은 무작위가 아니라 정해진 규칙입니다. 맨 위 카드를 그대로 두는 완벽한 셔플은 계산해 보면 8번 만에 52장이 원래 순서로 돌아옵니다.

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