빙고 40개를 불러도 절반은 한 줄도 안 나옵니다
핵심 요약 — 75개 중 40개를 뽑으면 카드의 24칸(가운데는 무료) 중 절반가량이 채워집니다. 그런데 **한 줄도 완성되지 않는 판이 55.5%**입니다. 절반이 채워지는 것과 한 줄이 이어지는 것은 전혀 다른 문제이기 때문입니다. 1줄이 31.8%, 2줄이 9.9%로 급격히 줄고, 40만 판에서 관측된 최대는 10줄이었습니다.
빙고는 공이 하나씩 불릴 때마다 카드가 채워지는 게임입니다. 40개나 부르면 카드가 꽤 차 보입니다.
실제로 그렇습니다. 24칸 중 평균 12.8칸이 채워집니다. 그런데 줄이 완성되는 것은 다른 이야기입니다. 40만 판을 돌려 세어 봤습니다.
카드와 줄의 구조
카드는 5×5입니다. 열마다 숫자 범위가 정해져 있습니다.
| 열 | B | I | N | G | O |
|---|---|---|---|---|---|
| 범위 | 1~15 | 16~30 | 31~45 | 46~60 | 61~75 |
가운데 칸(N열 3행)은 무료입니다. 처음부터 채워진 것으로 칩니다. 그래서 실제로 맞혀야 하는 것은 24칸입니다.
줄은 가로 5개, 세로 5개, 대각선 2개로 모두 12개입니다. 이 중 가운데를 지나는 줄은 세로 N열, 가로 3행, 대각선 둘 — 네 줄입니다. 이 네 줄만 무료 칸의 덕을 봅니다.
40개를 불러도 절반은 0줄
40만 판을 돌린 결과입니다.
| 완성 줄 | 확률 | 배수 |
|---|---|---|
| 0줄 | 55.504% | 꽝 |
| 1줄 | 31.795% | ×1.2 |
| 2줄 | 9.905% | ×3 |
| 3줄 | 2.278% | ×6 |
| 4줄 | 0.424% | ×15 |
| 5줄 | 0.079% | ×40 |
| 6줄 | 0.013% | ×80 |
| 7줄 이상 | 0.003% | ×100 |
한 줄 이상 나오는 판은 44.5%입니다. 두 판에 한 번이 조금 안 됩니다.
줄이 하나 늘 때마다 확률이 3배가량 줄어듭니다. 1줄에서 2줄은 3.2배, 2줄에서 3줄은 4.3배, 3줄에서 4줄은 5.4배입니다. 뒤로 갈수록 더 가팔라집니다.
왜 절반이나 0줄인가
40개를 뽑으면 75개 중 53%입니다. 그러니 내 카드의 칸 하나가 채워질 확률도 대략 그쯤입니다.
문제는 한 줄이 다섯 칸을 전부 요구한다는 점입니다. 칸 하나가 채워질 확률이 절반이라면, 다섯 칸이 모두 채워질 확률은 대략 절반의 다섯 제곱 — 3% 근처로 떨어집니다.
물론 실제로는 각 칸이 독립이 아니고 무료 칸이 있는 줄은 네 칸만 필요해서 계산이 더 복잡합니다. 그래도 방향은 같습니다. 채워지는 칸은 많은데 이어지는 줄은 드뭅니다.
무료 칸이 있는 네 줄은 확실히 유리합니다. 다섯 칸이 아니라 네 칸만 맞으면 되니까요. 실제로 완성되는 줄의 상당수가 이 네 줄에서 나옵니다.
여러 줄이 한꺼번에 터지는 이유
2줄 이상이 나오는 판은 12.3%입니다. 그런데 이 판들은 대개 "운이 두 번 좋았던" 것이 아닙니다.
줄은 서로 겹칩니다. 가로 3행과 세로 N열, 대각선 둘은 모두 가운데 칸을 지납니다. 한 칸이 여러 줄에 동시에 기여합니다.
그래서 카드가 잘 채워진 판에서는 줄이 하나씩 늘지 않고 몇 개가 한꺼번에 완성됩니다. 40만 판에서 10줄까지 나온 것도 그래서입니다. 12줄 중 10줄이면 카드가 거의 다 채워진 상태입니다.
이 성질이 배수표에 반영돼 있습니다. 1줄 ×1.2에서 5줄 ×40까지 뛰는 것은, 5줄이 1줄보다 33배 어렵기 때문이 아니라 402배 어렵기 때문입니다.
회수율은 92.3%
확률과 배수를 곱해 더하면 **92.33%**입니다. 40만 판 실측값도 같았습니다.
회수율의 절반가량은 1줄(×1.2)에서 나옵니다. 흔하지만 배수가 작아 원금을 조금 넘기는 수준입니다. 실제로 잔고를 움직이는 것은 2~3줄 구간입니다.
자주 묻는 질문
40개를 부르는데 왜 한 줄도 안 나오나요?
칸은 절반가량 채워지지만 한 줄은 다섯 칸(무료 칸이 있는 줄은 네 칸)이 모두 필요합니다. 채워지는 칸 수와 이어지는 줄 수는 다른 문제입니다. 0줄로 끝나는 판이 55.5%입니다.
가운데 무료 칸은 어느 줄에 도움이 되나요?
세로 N열, 가로 3행, 대각선 두 줄 — 모두 네 줄입니다. 이 네 줄은 네 칸만 맞으면 완성됩니다.
카드는 어떻게 만들어지나요?
열마다 정해진 범위(B는 115, I는 1630 …)에서 겹치지 않게 다섯 개씩 뽑습니다. 가운데 칸은 무료입니다.
한 판에 몇 줄까지 나올 수 있나요?
구조상 최대 12줄입니다. 40만 판을 돌린 실측에서는 10줄까지 관측됐습니다.
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