네 숫자로 10 만들기 — 0000부터 9999까지 전부 풀어 봤습니다
핵심 요약 — 네 숫자에 더하기·빼기·곱하기·나누기와 괄호를 써서 10을 만드는 놀이를 0000부터 9999까지 1만 개 전부 풀어 봤습니다. 순서를 바꿔도 되는 규칙에서는 8,147개(81.47%)가 됩니다. 순서를 못 바꾸게 하면 58.78%로 떨어집니다. 0이 없는 네 자리만 보면 94.3%가 되지만, 0이 하나 끼면 64.9%입니다. 가장 어려운 문제는 1158 · 1199 · 1337 · 3478 네 조합으로, 중간에 분수를 거치지 않으면 풀리지 않고 풀이도 하나뿐입니다. 1158의 답은 8 ÷ (1 − 1 ÷ 5)입니다.
번호판 네 자리로 하는 놀이
신호 대기 중에 앞차 번호판을 보면 뒤에 네 자리 숫자가 있습니다. 이 네 숫자로 10을 만들어 보는 놀이가 있어요. 기차표에 찍힌 네 자리로 하는 놀이로도 알려져 있고, '텐 퍼즐'이나 '메이크 텐' 같은 이름으로 불립니다.
해 보신 분은 아실 거예요. 대부분은 금방 되는데, 가끔 아무리 해도 안 되는 숫자가 나옵니다. 그럴 때 궁금해집니다. 이건 원래 안 되는 걸까, 내가 못 찾는 걸까?
그래서 0000부터 9999까지 1만 개를 프로그램으로 전부 풀었습니다.
규칙부터 정확히
같은 놀이라도 규칙이 조금씩 다르면 답이 달라집니다. 이 글의 기본 규칙은 이렇습니다.
- 네 숫자를 한 번씩 모두 씁니다
- 숫자의 순서는 바꿔도 됩니다
- + − × ÷ 와 괄호를 자유롭게 씁니다
- 숫자를 이어 붙이면 안 됩니다 (1과 2로 12를 만들 수 없음)
- 숫자 앞에 마이너스를 붙여 음수로 만들 수는 없습니다. 계산 도중에 음수가 나오는 것은 괜찮습니다
- 나눗셈은 분수 그대로 정확히 계산합니다 (1 ÷ 3을 0.33으로 반올림하지 않음)
- 거듭제곱, 제곱근 같은 다른 연산은 쓰지 않습니다
풀이 개수를 셀 때는 덧셈끼리·곱셈끼리 순서만 바꾼 식, 괄호 위치만 다르고 계산이 같은 식은 하나로 봤습니다. 1 + 2 + 3 + 4와 4 + 3 + 2 + 1은 같은 풀이입니다.
전부 풀어 보니 — 81.47%
| 세는 단위 | 전체 | 10을 만들 수 있음 | 비율 |
|---|---|---|---|
| 네 자리 번호 (0000~9999) | 10,000 | 8,147 | 81.47% |
| 숫자 조합 (순서 무관) | 715 | 552 | 77.2% |
순서를 바꿔도 되니까 1234와 4321은 같은 문제입니다. 이렇게 순서를 무시하고 숫자 묶음만 보면 715가지가 나옵니다. 그중 552개가 되고, 163개는 어떻게 해도 10이 안 됩니다.
두 비율이 다른 이유는 번호판에서 조합마다 나오는 횟수가 달라서입니다. 1234처럼 네 숫자가 다 다르면 번호판 24개가 같은 문제고, 0000은 번호판 하나뿐입니다. 안 되는 조합에는 0000, 1111처럼 같은 숫자가 겹친 것이 많아서, 번호판 기준으로 세면 비율이 조금 올라갑니다.
결론은 간단합니다. 아무 번호판이나 보면 다섯 중 넷은 됩니다. 안 된다고 느낀 다섯 번째가 정말 안 되는 것일 가능성도 꽤 있다는 뜻이고요.
0이 끼면 확 어려워집니다
| 네 자리 안의 0 | 번호판 수 | 만들 수 있음 | 비율 |
|---|---|---|---|
| 없음 | 6,561 | 6,189 | 94.3% |
| 한 개 | 2,916 | 1,892 | 64.9% |
| 두 개 | 486 | 66 | 13.6% |
| 세 개 이상 | 37 | 0 | 0% |
0이 없으면 94.3%, 거의 다 됩니다. 0이 하나만 들어가도 64.9%로 떨어지고, 두 개면 13.6%입니다.
0은 곱하면 전부 0으로 만들고, 더하거나 빼면 아무 일도 안 합니다. 그래서 0이 하나 있으면 사실상 나머지 세 숫자로 10을 만드는 문제가 됩니다. 두 개면 두 숫자로 만들어야 하니, 2와 8(2 + 8), 2와 5(2 × 5)처럼 딱 맞는 짝이어야만 됩니다.
0 없이도 안 되는 48개
0이 없는 조합 495개 중 48개는 방법이 없습니다.
1111 1112 1113 1122 1159 1169 1177 1178 1179 1188 1399 1444
1499 1666 1667 1677 1699 1777 2257 3444 3669 3779 3999 4444
4459 4477 4558 4899 4999 5668 5788 5799 5899 6666 6667 6677
6777 6778 6888 6899 6999 7777 7788 7789 7799 7888 7999 8899
1111은 이해가 갑니다. 1을 아무리 더하고 곱해도 (1 + 1) × (1 + 1) = 4가 최대입니다. 그런데 2257이나 4558은 의외입니다. 숫자가 적당해 보여서 한참 붙잡게 되는데, 전부 확인해 보면 정말 안 됩니다.
같은 숫자 네 개짜리 중에는 1111 · 4444 · 6666 · 7777이 안 되고, 나머지는 됩니다. 2222는 2 × 2 × 2 + 2, 9999는 (9 × 9 + 9) ÷ 9입니다.
가장 어려운 네 문제 — 분수를 거쳐야만 됩니다
"나눗셈이 딱 떨어질 때만 쓴다"는 규칙으로 바꾸고 다시 돌려 봤습니다. 552개 중 548개는 그대로 됩니다. 사라지는 건 딱 4개입니다.
| 조합 | 유일한 풀이 | 중간에 나오는 분수 |
|---|---|---|
| 1158 | 8 ÷ (1 − 1 ÷ 5) | 1/5 → 4/5 |
| 1199 | 9 × (1 + 1 ÷ 9) | 1/9 → 10/9 |
| 1337 | 3 × (1 + 7 ÷ 3) | 7/3 → 10/3 |
| 3478 | 8 × (3 − 7 ÷ 4) | 7/4 → 5/4 |
1158을 따라가 보면 이렇습니다. 1 ÷ 5 = 1/5, 1에서 빼면 4/5, 8을 4/5로 나누면 10. 정수로만 생각하면 절대 떠오르지 않는 길입니다.
이 넷은 풀이가 딱 하나씩입니다. 분수를 거쳐야 하는 데다 길까지 하나뿐이라, 이 놀이에서 가장 어려운 문제로 꼽힐 만합니다.
풀이가 하나뿐인 조합은 이 넷 말고도 많습니다. 552개 중 94개가 풀이 하나짜리예요. 9999의 (9 × 9 + 9) ÷ 9, 8888의 8 + (8 + 8) ÷ 8, 3357의 5 × (3 × 3 − 7) 같은 것들입니다.
풀이가 가장 많은 조합
| 풀이 개수 | 조합 수 |
|---|---|
| 1개 | 94 |
| 2~5개 | 253 |
| 6~10개 | 102 |
| 11~20개 | 76 |
| 21~40개 | 22 |
| 41개 이상 | 5 |
풀리는 조합의 풀이 개수는 가운데값이 4개, 평균이 6.6개입니다.
가장 많은 건 0128 · 0137 · 0146으로 48개씩인데, 0과 1이 끼면 "× (0 + 1)", "÷ (0 + 1)"처럼 결과를 안 바꾸는 변형이 잔뜩 생겨서입니다. 0과 1을 빼고 보면 2348이 23개로 가장 많습니다.
- (2 + 3) × 8 ÷ 4
- 2 × 3 + 8 − 4
- 3 × (2 + 4) − 8
- 8 + (2 + 4) ÷ 3
번호판에서 2348을 만나면 어떻게 해도 되는 셈입니다.
순서를 못 바꾸면 58.78%
숫자를 적힌 순서 그대로 써야 하는 규칙도 있습니다. 괄호와 사칙연산은 자유지만 4321이면 4, 3, 2, 1 순서를 지켜야 합니다.
| 규칙 | 만들 수 있는 네 자리 |
|---|---|
| 순서 자유 · 사칙연산 · 분수 허용 | 81.47% |
| 순서 자유 · 사칙연산 · 정수만 거치기 | 80.93% |
| 순서 자유 · 더하기·빼기·곱하기만 | 70.52% |
| 순서 고정 · 사칙연산 · 분수 허용 | 58.78% |
| 순서 고정 · 더하기·빼기·곱하기만 | 47.48% |
| 순서 자유 · 더하기·빼기만 | 27.23% |
순서를 고정하면 2,269개가 새로 안 되는 문제가 됩니다. 1158은 순서를 바꿀 수 있을 때 풀이가 하나 있지만, 1·1·5·8을 늘어놓는 12가지 중 순서 고정으로 되는 건 8115 하나뿐입니다. 적힌 순서 그대로 8 ÷ (1 − 1 ÷ 5)가 되기 때문입니다.
나눗셈을 빼는 것보다 순서를 묶는 쪽이 훨씬 크게 깎는다는 점도 눈에 띕니다. 반대로 곱셈까지 빼 버리면 27.23%로, 네 개 중 하나 남짓만 됩니다.
정리하면
- 0000~9999 중 10을 만들 수 있는 번호는 8,147개(81.47%), 순서 무관 조합으로는 715개 중 552개
- 0이 없으면 94.3%, 0이 하나면 64.9%, 둘이면 13.6%, 셋 이상이면 0%
- 0 없이도 안 되는 조합이 48개 — 1111, 2257, 4558, 7777 등
- 분수를 거쳐야만 되는 조합은 1158 · 1199 · 1337 · 3478 넷뿐이고, 풀이도 하나씩
- 순서를 못 바꾸는 규칙에서는 58.78%로 떨어집니다
자주 묻는 질문
네 숫자로 10 만들기는 몇 퍼센트나 되나요?
0000부터 9999까지 1만 개 중 8,147개, 81.47%가 됩니다. 숫자 순서를 바꿀 수 있고 사칙연산과 괄호를 쓰며 나눗셈은 분수로 정확히 계산하는 규칙 기준입니다. 0이 없는 네 자리만 보면 94.3%입니다.
1158은 어떻게 10을 만드나요?
8 ÷ (1 − 1 ÷ 5) = 10입니다. 1 ÷ 5 = 1/5, 1 − 1/5 = 4/5, 8 ÷ 4/5 = 10 순서로 계산합니다. 1158은 분수를 거치지 않으면 풀 수 없고 풀이도 이것 하나뿐입니다.
가장 어려운 조합은 무엇인가요?
분수를 거쳐야만 되는 1158, 1199, 1337, 3478 네 조합입니다. 각각 풀이가 하나뿐입니다. 1199는 9 × (1 + 1 ÷ 9), 1337은 3 × (1 + 7 ÷ 3), 3478은 8 × (3 − 7 ÷ 4)입니다.
아무리 해도 안 되는 숫자도 있나요?
있습니다. 순서 무관 조합 715개 중 163개는 어떤 방법으로도 10이 되지 않습니다. 0이 없는 조합 중에서도 1111, 2257, 4558, 6666, 7777 등 48개가 안 됩니다.
순서를 바꾸지 못하면 얼마나 어려워지나요?
만들 수 있는 네 자리가 81.47%에서 58.78%로 줄어듭니다. 순서를 바꾸면 되던 2,269개가 안 되는 문제로 바뀝니다. 곱셈과 나눗셈 없이 더하기·빼기만 쓰면 순서를 바꿔도 27.23%에 그칩니다.
숫자를 이어 붙이면 더 많이 되지 않나요?
허용하면 더 많이 됩니다. 예를 들어 1111은 이 글의 규칙으로는 안 되지만, 이어 붙이기를 쓰면 11 − 1 × 1 = 10이 됩니다. 이 글은 이어 붙이기를 쓰지 않는 규칙으로만 계산했습니다.
함께 읽기
머리로 하는 계산이 재밌으셨다면 슬롯플레이의 암산 60초도 있습니다. 코인 차감 없는 무료 두뇌게임이며 기록은 명예 기록으로만 남고 현실 가치 보상은 제공하지 않습니다.
재현 방법. 네 숫자 중 둘을 골라 사칙연산으로 하나로 합치는 과정을 숫자가 하나 남을 때까지 모든 경우로 반복했습니다(순서 고정 규칙은 이웃한 둘만 합침). 값은 분자·분모로 정확히 계산했고, 결과가 10인 식을 덧셈·곱셈의 순서와 괄호를 정리한 표준형으로 바꿔 서로 다른 풀이를 셌습니다. × 1과 ÷ 1처럼 결과가 같은 변형은 따로 셌습니다.