송편 열두 개를 다섯 가지 소로 빚으면 1,820가지 — 다 맛보려면 몇 개를 집어야 할까
핵심 요약 — 소를 다섯 가지(깨·콩·밤·대추·동부) 쓴다고 할 때, 송편 열두 개를 빚는 개수 조합은 1,820가지입니다. 그런데 다섯 가지가 모두 한 개 이상 들어가는 조합은 330가지, 18.1%뿐입니다. 접시에 담긴 송편을 무작위로 집어 다섯 가지를 다 맛보려면 평균 11.42개가 필요합니다. 열두 개를 먹어도 다 맛볼 확률은 67.8%입니다.
열두 개를 어떻게 나눌까
깨 넷, 콩 셋, 밤 둘, 대추 둘, 동부 하나. 이런 식으로 열두 개를 다섯 가지 소에 나누는 방법이 몇 가지인지 세어 봤습니다.
순서는 따지지 않고 개수만 봅니다. 이런 문제는 중복조합으로 셉니다.
| 송편 수 | 개수 조합 | 다섯 가지를 모두 넣는 조합 |
|---|---|---|
| 6개 | 210가지 | 5가지 (2.4%) |
| 12개 | 1,820가지 | 330가지 (18.1%) |
| 20개 | 10,626가지 | 3,876가지 (36.5%) |
열두 개로는 다섯 가지를 다 넣는 쪽이 다섯 중 하나도 안 됩니다. 여섯 개면 2.4%까지 떨어지고요. 종류를 늘릴수록 "골고루"가 어려워지는 것은 당연한데, 숫자로 보면 생각보다 가파릅니다.
접시에 놓는 순서까지 따지면 열두 개가 244,140,625가지입니다. 2억 4천만인데, 5를 열두 번 곱한 값(5¹²)이지요.
다 맛보려면 몇 개를 집어야 하나
여기부터가 명절 밥상에서 실제로 벌어지는 일입니다. 접시에 다섯 가지가 고르게 섞여 있고, 겉만 보고는 무슨 소인지 모릅니다. 다섯 가지를 다 맛보려면 몇 개를 집어야 할까요.
계산으로는 5 × (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5) = 11.42개입니다. 50만 번 돌려 보니 실측 11.41개로 붙었습니다.
| 집은 개수 | 다섯 가지를 다 맛볼 확률 |
|---|---|
| 5개 | 3.9% |
| 8개 | 32.2% |
| 12개 | 67.8% |
다섯 가지니까 다섯 개면 되지 않겠냐 싶지만 3.9%입니다. 열두 개를 먹어도 셋 중 하나는 못 맛본 소가 남습니다.
왜 이렇게 많이 먹어야 하나
처음 몇 개는 쉽습니다. 첫 개는 무엇이든 새로운 소이고, 두 번째도 5분의 4 확률로 새것입니다. 문제는 마지막 하나예요.
네 가지를 맛본 뒤 남은 한 가지를 만나려면 5분의 1 확률을 뚫어야 하니 평균 다섯 개를 더 집어야 합니다. 전체 11.42개 가운데 마지막 한 가지에만 5개가 들어가는 셈입니다.
이것을 쿠폰 수집가 문제라고 부릅니다. 종류가 늘어날수록 마지막 하나가 유난히 오래 걸립니다. 저희가 십이지 열둘을 모으는 데 필요한 사람 수를 계산했을 때도 같은 이유로 숫자가 커졌습니다.
고르게 담으면 달라집니다
지금까지는 접시 안에서 무작위로 집는 경우였습니다. 만약 빚을 때부터 다섯 가지를 정확히 같은 수로 담았다면 이야기가 달라집니다.
열두 개에 다섯 가지를 정확히 나누는 것은 애초에 되지 않습니다(12를 5로 나눌 수 없으니까요). 그래서 열다섯 개에 세 개씩 담았다고 하면, 그때는 집을 때마다 남은 종류가 줄어들어 평균이 크게 떨어집니다. 무작위로 흩어져 있을 때보다 골고루 담아 두는 편이 다 맛보기에 유리하다는 뜻입니다.
명절에 송편을 담으실 일이 있다면, 섞어 담기보다 종류별로 줄을 맞춰 담는 쪽이 모두가 다 맛보기에 낫습니다.
정리하면
- 송편 열두 개를 소 다섯 가지로 나누는 개수 조합은 1,820가지입니다.
- 다섯 가지가 모두 들어가는 조합은 330가지, 18.1%뿐입니다.
- 무작위로 집어 다 맛보려면 평균 11.42개, 열두 개를 먹어도 67.8%입니다.
- 마지막 한 가지를 만나는 데만 평균 다섯 개가 들어갑니다.
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자주 묻는 질문
송편 열두 개를 다섯 가지 소로 나누는 방법은 몇 가지인가요?
개수만 따지면 1,820가지입니다. 중복조합으로 세며, 접시에 놓는 순서까지 따지면 244,140,625가지가 됩니다.
다섯 가지가 모두 들어갈 확률은 얼마인가요?
열두 개를 무작위 개수로 나눌 때 다섯 가지가 모두 한 개 이상 들어가는 조합은 330가지로 18.1%입니다. 여섯 개면 2.4%까지 떨어집니다.
다섯 가지를 다 맛보려면 몇 개를 먹어야 하나요?
평균 11.42개입니다. 50만 번 시뮬레이션에서 11.41개가 나왔습니다. 다섯 개만 먹어서 다 맛볼 확률은 3.9%에 불과합니다.
왜 다섯 가지인데 다섯 개로 안 되나요?
마지막 한 가지를 만나기가 어렵기 때문입니다. 네 가지를 맛본 뒤 남은 하나를 만날 확률은 5분의 1이라 평균 다섯 개를 더 집어야 합니다. 쿠폰 수집가 문제라고 부르는 구조입니다.
어떻게 담으면 다 맛보기 쉬운가요?
종류별로 줄을 맞춰 담는 쪽이 낫습니다. 무작위로 섞여 있으면 같은 소를 거듭 집게 되지만, 고르게 나뉘어 있으면 집을 때마다 남은 종류가 줄어듭니다.
소가 다섯 가지가 아니면 어떻게 되나요?
종류가 늘어날수록 다 맛보기까지 필요한 개수가 가파르게 늘어납니다. 종류가 n가지면 대략 n에 로그 n을 곱한 만큼 필요합니다.